Mathematik für Informatiker: Eine aus der Informatik motivierte Einführung mit zahlreichen Anwendungs- und Programmbeispielen (German Edition)

1. 2 Schreibweisen f¨ ur die Bit-Verkn¨ upfungen A B zero 1 2 three four five 6 7 eight nine 10 eleven 12 thirteen 14 15 zero zero 1 1 zero 1 zero 1 zero zero zero zero zero zero zero 1 zero zero 1 zero zero zero 1 1 zero 1 zero zero zero 1 zero 1 zero 1 1 zero zero 1 1 1 1 zero zero zero 1 zero zero 1 1 zero 1 zero 1 zero 1 1 1 1 zero zero 1 1 zero 1 1 1 1 zero 1 1 1 1 zero A ∧ B A ∧ ¬B A ¬A ∧ B B A ⊕ B A ∨ B ¬A ∧ ¬B A ⇐⇒ B ¬B A ∨ ¬B ¬A A =⇒ B ¬A ∨ ¬B 1 In der Programmiersprache C stehen diese bitweisen Verkn¨ upfungen zur Verf¨ ugung: Der Und-Operator ∧ heißt hier &, statt ∨ wird | verwendet, und ⊕ wird als ^ geschrieben. Dabei werden Worte, die aus mehreren Bits bestehen, positionsweise wie angegeben verkn¨ upft. Ausmaskieren: M¨ ochte guy gezielt einzelne Bits auf null setzen, dann undverkn¨ upft guy eine Bitfolge mit einer Folge von Einsen, bei der nur die betroffenen Bits null sind. Wir l¨ oschen beispielsweise das f¨ uhrende Bit in 101011 durch Verkn¨ upfen mit 011111, additionally mittels 101011 & 011111 = 001011. Wenn guy testen m¨ ochte, ob ein spezielles Bit gesetzt ist, dann kann guy alle anderen ausmaskieren und das Ergebnis mit der Null vergleichen. Auff¨ ullen: Mit der oder-Verkn¨ upfung okay¨ onnen gezielt einzelne Bits eingeschaltet werden. Die unteren (hinteren bzw. rechten) vier Bits von 101010 werden auf 1 gesetzt mittels 101010 | 001111 = 101111. Codieren: Die Xor-Verkn¨ upfung l¨ asst sich r¨ uckg¨ angig machen, indem guy sie nochmal mit der gleichen Bitfolge anwendet: (A ⊕ B) ⊕ B = A. 12 1 Grundlagen Auf diese Weise erh¨ alt guy eine hervorragende Verschl¨ usselung. Dazu muss guy ein Referenzdokument als Schl¨ ussel auf sicherem Weg austauschen, z. B. mit dem RSA-Verfahren, siehe Kapitel three. five. Statt eines vollst¨ andigen Dokuments gen¨ ugt auch eine Startzahl f¨ ur einen Zufallszahlengenerator, der basierend auf dieser Zahl ein Dokument (reproduzierbar) generiert. Dann kann guy andere Dokumente mit diesem bitweise Xor-verkn¨ upfen um sie zu verund entschl¨ usseln. Aufgabe 1. 2 Zeigen Sie mit einer Wertetabelle, dass (A ⊕ B) ⊕ B = A gilt. Satz 1. eight (Rechenregeln) Seien A, B und C Variablen, die die Werte zero und 1 annehmen okay¨ onnen: Kommutativgesetze: A ∧ B = B ∧ A, A∨B =B∨A Assoziativgesetze: (A ∧ B) ∧ C = A ∧ (B ∧ C), (A ∨ B) ∨ C = A ∨ (B ∨ C) Distributivgesetze: A ∧ (B ∨ C) = (A ∧ B) ∨ (A ∧ C), A ∨ (B ∧ C) = (A ∨ B) ∧ (A ∨ C). V¨ ollig analog zum Rechnen mit Mengen gelten auch hier die De Morgan’schen Regeln: ¬(A ∧ B) = ¬A ∨ ¬B, ¬(A ∨ B) = ¬A ∧ ¬B. Der Beweis des Satzes ist ganz einfach, guy muss nur alle Werte f¨ ur A, B und C durchprobieren und dabei die jeweilige Formel u ufen. Das kann guy mit ¨ berpr¨ einer Wertetabelle wie Tabelle 1. 2 tun. Wir haben beispielsweise ¬A ∧ ¬B geschrieben und meinen damit (¬A) ∧ (¬B). Auf die Klammern verzichten wir aber, weil die Operatoren (wie zuvor bei Mengen) Priorit¨ aten haben: Die Negation bindet enger als Und, und Und bindet enger als Oder. Es gilt additionally: A ∧ ¬B ∨ C ∧ D = (A ∧ (¬B)) ∨ (C ∧ D). Die Verkn¨ upfungen A ∧ B, A ∨ B, ¬A, ¬(A ∧ B), ¬(A ∨ B), A ⊕ B, usw. lassen sich vergleichsweise einfach mittels als sogenannte Gatter realisieren.